Еще в 1839 году на основе обычной теории упругости МакКеллог развил представления об эфирной среде, которые, как оказалось, хорошо согласуются с теорией электромагнитных и оптических явлений Д.Максвелла (1864). Ниже уравнения МакКеллога приводятся, в основном, в изложении Арнольда Зоммерфельда [6].

В теории сплошных сред обычно рассматриваются перемещения, вращения и деформации. Упругое тело реагирует на деформации возникновением тензора упругих сил, причем деформации также описываются тензором. Теперь представим себе "квазиупругое" тело, которое невосприимчиво к деформациям сжатия-растяжения, но реагирует на деформацию кручения относительно абсолютного пространства. Так как такое кручение имеет характер антисимметричного тензора, мы можем представить напряжения, приложенные к сторонам элементарного куба в виде антисимметричного тензора. Запишем его в следующем виде

где s _ik = - s _ki.

Положенные в основу соотношения между поворотом и напряжениями отражены на схеме Рис.9. Элементарный объем D t повернут на угол j_z (стрелка вокруг положительного направления оси z, по правилу правого винта).

Рис.9. Отношения между напряжениями и скручивающим моментом в "квазиупругом" теле.

Чтобы осуществить такое скручивание, необходимо приложить момент силы вокруг z-оси:

где к есть "модуль скручивания" квазиупругого тела. Этому моменту сил соответствуют два обозначенные на рисунке сдвигающие напряжения s_xy и - s_yx на x- и y-плоскостях, отложенных на осях x и y в положительных направлениях и антипараллельные напряжения на соответствующих плоскостях осей в отрицательных направлениях. Чтобы соблюсти соответствие между (7) и (8) мы должны получить

В итоге мы получаем момент, действующий на обеих х-плоскостях:

2s _xyD yD z(D x/2) = (k/2)j _zD _t

и момент на двух y-плоскостях

- 2s _yxD xD z(D y/2) = (k/2)j _zD _t ,

также как и момент из уравнения (8).

Циклическая подстановка из (9) явно приводит к следующим выражениям:

Схему действия сил, приведенную на рис.9 можно представить как приложенную к бесконечно малой материальной точке, находящейся внутри некоего тела. Уравнения движения этого квазиэластичного тела можно написать по аналогии с известными из теории упругости уравнениями движения [28]. Составляя их, учтем инерцию (d - масса единичного обьема) и будем рассматривать только условно медленные движения. Кроме этого, мы должны отказаться от внешних сил (Р = 0). Тогда, с учетом (9) и (9а), получим

.

Последнее, циклически преобразованное и векториально записанное, представляет собой уравнение движения

Это уравнение можно отобразить иначе, через отношение между и угловой скоростью . Это произойдет, если и здесь мы поменяем dj /dt на j / t:

Из предположения несжимаемости среды, для значения , - угла поворота вектора смещения, добавим следующее условие:

Как отмечает А.Зоммерфельд [6], система уравнений (10), (11) и (12) демонстрирует убедительную простоту и симметрию. Она имеет ту же форму, что и уравнения Д.Максвелла для пустого пространства.

Для более подробного исследования введем напряженность электрического поля , напряженность магнитного поля , коэффициенты пропорциональности a , b , размерность которых будет зависеть от выбора системы физических величин, в которых выражены и , а также от знака перед зарядом и силой магнитного поля:

или

b) = +a

= b .

Тогда идентично уравнениям (10), (11) и (12), получим дважды:

Введенные здесь сокращения e₀ , m₀ называются диэлектрической и магнитной проницаемостью вакуума. В системе наших обозначений они будут даны через:

Их произведение независимо от выбора системы единиц (коэффициентов a , b ). В обоих случаях это произведение будет равно:

Таким образом, определенная величина С обозначает скорость распространения в вакууме. Обратим внимание на то, что, также как ньютоновское определение скорости связано с понятием упругость, так и С связано с модулем скручивания к.

В весомом диэлектрике действуют такие же основные уравнения (13), как и в вакууме, только с измененными значениями e , m , вместо e₀ , m₀. Но оба условия дивергенции существенно изменятся. Вместо div= 0 должно быть

Это приведет к тому, что скручивание среды будет определяться не величиной , но величиной В, что не создает никаких трудностей. С другой стороны, условие = 0 перейдет в

где d _е - пространственная плотность действующего электрического заряда. Так как теперь не , а определяет скорость тока и константы e, m связаны с к, d , a , b , уравнения Д.Максвелла могут быть верными и здесь, в весомом диэлектрике.

В своей работе [6] А. Зоммерфельд пишет, что он далек от того, чтобы этой "модели эфира" придать какой-либо физический смысл. Вместе с этим, само включение раздела о модели квазижесткого эфира в его капитальный труд "Механика деформируемых сред", последнее издание которого выпущено в 1978 году, весьма знаменательно.

Наиболее убедительно верность и адекватность концепции МакКеллога демонстрирует деформация эфирной среды, возникающая вокруг проводника с током, Рис.9. Скручивающая деформация образует ряд вложенных друг в друга концентрических поверхностей. Каждая из этих поверхностей является эквипотенциалью, в пределах которой напряженность магнитного поля обладает одинаковой величиной.

Наше положение (см. П.6 раздела 3) о том, что эфирная среда в известной степени связана (закреплена) большими по астрономическим масштабам физическими массами соответствует ранее выдвинутому МакКеллогом положению о реакции на деформацию кручения относительно пространства, заполненного эфирной средой.

По нашему мнению, напряжения в эфирной среде описываются всеми видами тензоров, в которых диагональные члены, как и в (7) равны нулю. Это означает, что в эфирной среде могут существовать деформации формоизменения, т.е. кручения, скручивания и сдвига. ..